Refaire le calcul d'Ératosthène sur la circonférence de la Terre

Sept degrés et deux dixièmes : c'est l'angle que projette une ombre à Alexandrie le jour où, à Syène, le Soleil se reflète au fond d'un puits sans laisser d'ombre. De cet écart minuscule, un bibliothécaire grec a tiré la taille de notre planète, avec une marge de quelques pour cent seulement. Nous reprenons ici son raisonnement chiffre par chiffre, puis nous le comparons à la valeur que mesurent aujourd'hui les satellites.

Quelle est la circonférence réelle de la Terre aujourd'hui ?

La Terre n'a pas une seule circonférence. Elle en a deux, et l'écart entre les deux raconte la forme réelle de la planète. Voici les valeurs de référence.

L'écart, 67 km, tient à l' aplatissement du globe. Ce chiffre moyen masque une réalité : la Terre n'est pas une sphère mais un ellipsoïde, légèrement renflé à l'équateur et aplati aux pôles. La cause est mécanique. La rotation terrestre engendre une force centrifuge qui pousse la matière vers l'extérieur, effet maximal à l'équateur et nul aux pôles. Retenir un seul chiffre pour « la » circonférence terrestre est donc une simplification. Il faut toujours préciser l'axe de mesure avant d'annoncer une valeur.

Comment Ératosthène a-t-il mesuré la Terre depuis Alexandrie ?

Selon la notice Wikipédia qui lui est consacrée, Ératosthène naît vers 276 avant notre ère à Cyrène et meurt vers 194 avant notre ère à Alexandrie. Vers 245 avant notre ère, le roi d'Égypte Ptolémée III le nomme directeur de la bibliothèque d'Alexandrie, poste qui lui donne accès à des rapports de voyageurs et à des mesures géographiques rassemblées de tout le monde grec.

Un de ces rapports retient son attention. À Syène, l'actuelle Assouan, le jour du solstice d'été, le soleil éclaire le fond d'un puits sans y produire d'ombre : il est donc exactement à la verticale. Le même jour, à Alexandrie, un obélisque projette une ombre mesurable. Ératosthène évalue l'angle formé par les rayons du soleil avec la verticale à 7,2 degrés. Cette différence d'angle entre deux villes situées à peu près sur le même méridien devient la clé de tout le calcul.

À retenir

• L'angle mesuré à Alexandrie au solstice d'été : 7,2 degrés.
• La distance terrestre entre Alexandrie et Syène, connue par les caravanes de l'époque.

Comment refaire le calcul d'Ératosthène avec une règle de trois ?

Le raisonnement d'Ératosthène tient en une proportion. Voici comment le reconstituer, étape par étape.

Le résultat obtenu par Ératosthène, de l'ordre de 40 000 km selon la valeur retenue pour le stade, l'unité de longueur grecque antique, s'approche remarquablement de la valeur actuelle de 40 075 km à l'équateur. L'écart tient surtout à la conversion du stade en kilomètres, une donnée que les historiens des sciences ne fixent pas avec certitude : selon la valeur retenue pour le stade, l'estimation antique se rapproche plus ou moins de la valeur moderne, sans qu'on puisse trancher précisément quelle unité employait Ératosthène.

Piège fréquent : ce calcul suppose Alexandrie et Syène sur le même méridien et des rayons du soleil parallèles. Ce sont des approximations géométriques, pas des erreurs de mesure.

1. Étape 1 angle mesuré à Alexandrie, 7,2 degrés. Étape 2 : distance Alexandrie-Syène, environ 800 kilomètres. Étape 3 : règle de trois, 800 kilomètres correspondent à 7,2 degrés. Étape 4 : 360 degrés correspondent à 800 divisé par 7,2, multiplié par 360. Étape 5 : résultat obtenu, environ 40 000 kilomètres.

Comment calcule-t-on la circonférence à partir du rayon terrestre moderne ?

La méthode moderne ne mesure plus d'ombre, elle applique une formule géométrique simple : circonférence égale 2 fois pi fois le rayon.

Cette différence de quelques kilomètres entre les deux calculs illustre un point essentiel. La formule 2πR suppose une sphère parfaite : c'est une approximation commode, pas une description exacte. La Terre réelle, un ellipsoïde aplati, exige de préciser quel rayon, moyen, équatorial ou polaire, entre dans le calcul avant d'annoncer un résultat.

Quelles erreurs classiques faut-il éviter sur ce sujet ?

Trois confusions reviennent souvent, en classe comme dans les lectures grand public.

Piège fréquent

• Confondre circonférence et diamètre : la circonférence est le périmètre du cercle, le diamètre correspond à 2 fois le rayon. Les deux grandeurs ne se substituent jamais l'une à l'autre dans un calcul.
• Croire la Terre parfaitement sphérique : elle est en réalité un ellipsoïde aplati aux pôles, d'où les deux circonférences différentes présentées plus haut.
• Attribuer à Christophe Colomb la découverte que la Terre est ronde : ce fait est établi depuis l'Antiquité grecque. Ératosthène le tient déjà pour acquis quand il mène son calcul, et l'astronome et géographe Claude Ptolémée, actif à Alexandrie et né vers l'an 100 selon sa notice biographique, reprendra et transmettra à son tour cette conception d'une Terre sphérique.

Questions fréquentes